Mathematik

Zielsetzung

„Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“ Mit diesen Worten beschreibt einer der bahnbrechendsten Wissenschaftler der Menschheit, der Entdecker der größten Jupitermonde Galileo Galilei, die wichtige und fundamentale Rolle der Mathematik in den Naturwissenschaften. In ähnlicher Weise bemerkte der britische Naturphilosoph Isaac Newton, dass das verwunderlichste an der Natur sei, dass sie sich berechnen lässt. Dieser Gedanke Newtons hebt auf die (oft übersehene!) Tatsache ab, dass die Mathematik – obwohl sie oft in den Naturwissenschaften angewendet wird - eine Geisteswissenschaft ist, die ein von Menschen erdachtes und in sich selbst vollkommenes und stimmiges System darstellt. Die Vermittlung dieses wichtigen mathematischen Fundaments ist Ziel des Mathematikunterrichts am HGH.

Text: Dr. Stephan Edinger (Leiter der Fachschaft Mathematik am HGH)

Schwerpunkte

Im Mathematikunterricht werden die Grundlagen aus den Gebieten der Algebra, der Geometrie, der Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Zahlentheorie und der Logik unterrichtet. Gerade aber auch das letztgenannte Gebiet der Logik zeigt, dass ein gutes mathematisches Verständnis auch für andere (nicht nur naturwissenschaftliche!) Gebiete von zentraler Bedeutung ist. Diese zentrale Rolle der Mathematik als Schlüsselkompetenz wird oft verkannt und so ist folgender Satz, den man leider immer wieder (oft sogar mit einem gewissen Stolz ausgesprochen…) hört sehr bedauerlich: „In Mathematik war ich immer schlecht!“… Diese und ähnliche Aussagen können Schülerinnen und Schülern die Chance verbauen, eine echte Motivation für mathematische Gedankengänge zu entwickeln. Gerade diese Motivation ist aber eine für den Erfolg unablässige Voraussetzung, genauso wie ein gewisser regelmäßiger Fleiß, ohne den es nun mal auch nicht geht. Wie so oft ist es auch hier der sprichwörtliche „stete Tropfen, der den Stein höhlt“ – dies gilt insbesondere auch im Hinblick auf Hausaufgaben. Hier [=Link] finden sie eine kleine Kostprobe, die exemplarisch verdeutlicht, wie schön und wie vielseitig die Mathematik ist – die Fachschaft Mathematik am HGH wünscht Ihnen und Euch bei dieser Lektüre viel Freude!

Text: Dr. Stephan Edinger (Leiter der Fachschaft Mathematik am HGH)

Lehrende

Inhalt folgt.

Schauen Sie bitte bald wieder vorbei!

Kostprobe

Aufgabe: Ein Tennisturnier wird mit 128 Teilnehmern im KO-System ausgetragen. Wie viele Spiele sind dazu nötig?


Auf diese Frage seien hier drei Antwortmöglichkeiten vorgestellt.

Weg 1: Die „kaufmännische Rechnung“

In der ersten Runde sind es 64 Spiele.

In der zweiten Runde sind es 32 Spiele.

In der dritten Runde sind es 16 Spiele.

In der vierten Runde sind es 8 Spiele.

In der fünften Runde sind es 4 Spiele.

In der sechsten Runde sind es 2 Spiele (Halbfinale).

In der siebten Runde ist es nur noch ein Spiel (Finale).

In der Summe macht das 64 +32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 Spiele.


Weg 2: Der Zauber der Zweierpotenzen

Weg 1 löst das Problem vollständig. Eine Mathematikerin oder ein Mathematiker wird aber weiter gehen und erkennen, dass die berechnete Summe von eine Summe aus Zweierpotenzen ist und dass es eine allgemeine Formel gibt, die beweist, dass eine solche Summe stets lautet „die nächste Zweierpotenz minus 1“ (einen schönen Beweis dieses Satzes finden Sie hier: https://www.youtube.com/watch?v=qD5RsSDEbfs, unser Beispiel ist der konkrete Fall n=6). In unserem Fall ist die nächste Zweierpotenz die 128, womit sich 127 Spiele ergeben. Schöner als bei Weg 1 ist hier, dass diese Lösung eine Lösung liefert, die gleichzeitig unendlich viele andere Lösungen beinhaltet, nämlich alle Fälle, in denen die Anzahl der Teilnehmer eine Zweierpotenz ist:

Anzahl der Teilnehmer Anzahl der Spiele
2 1
4 3
8 7
16 15
32 31
64 64
128 127
256 255
512 511
1024 1023
2048 1024
4096 4095
etc. etc.


Weg 3: Die elegante Variante

Zu einer noch eleganteren, noch schöneren und noch allgemeineren Lösung dieser Aufgabe kann man aber auch ganz ohne Rechnungen und lediglich mit der Hilfe von drei Überlegungen kommen:

  • Jedes Spiel hat genau einen Verlierer.
  • Das Turnier hat einen Gewinner und 127 Teilnehmer, die nicht gewonnen haben.
  • Jeder, der das Turnier nicht gewonnen hat, hat genau ein Spiel verloren.


Aus den Punkten 1 bis 3 folgt automatisch, dass für das Turnier genau 127 Spiele benötigt werden. Das schöne an diesem Weg ist (neben seiner Einfachheit!), dass sich diese Überlegung auf jede beliebige Teilnehmerzahl anwenden lässt: Stets gibt es nur einen Gewinner, also nur einen Teilnehmer, der kein Spiel verloren hat und somit braucht man bei n Teilnehmern stets n-1 Spiele J. Die Wege 1 und 2 waren überhaupt nur so einfach zu handhaben, weil 128 eine reine Zweierpotenz ist (128 = 2*2*2*2*2*2*2) und somit in der ersten Runde sofort alle 128 Teilnehmer spielen können, ohne dass jemand übrig bleibt (128=2*64). Bei 127 Teilnehmern wäre das nicht der Fall gewesen… egal, wie kompliziert und aufwendig die dadurch notwendige Freilosregelung aber auch immer sein mag… man benötigt 126 Spiele, denn 126 Spieler werden aus dem Turnier ausscheiden und nur einer wird gewinnen!

Text: Dr. Stephan Edinger (Leiter der Fachschaft Mathematik am HGH)

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